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如图所示，在Rt△ABC内有一内接正方形，它的一条边在斜边BC上，设AB=a，∠ABC=θ（1）求△ABC的面积f（θ
如图所示，在Rt△ABC内有一内接正方形，它的一条边在斜边BC上，设AB=a，∠ABC=θ（1）求△ABC的面积f（θ
2025-06-21 21:55:38
推荐回答（1个）
回答1：
（1）由题得：AC=atanθ
∴f（θ）=
1
2
a
2
tanθ（0＜θ＜
π
2
）
设正方形的边长为x，则BG=
x
sinθ
，由几何关系知：∠AGD=θ
∴AG=xcosθ 由BG+AG=a?
x
sinθ
+xcosθ=a
?x=
asinθ
1+sinθcosθ
∴g（θ）=
a
2
sin
2
θ
(1+sinθcosθ)
2
（0＜θ＜
π
2
）
（2）
f(θ)
g(θ)
=
(1+sinθcoθ)
2
2sinθcosθ
=1+
1
sin2θ
+
sin2θ
4
令：t=sin2θ
∵0＜θ＜
π
2
∴t∈（0，1]∴y=1+
1
t
+
t
4
=1+
1
4
（t+
t
4
）∵函数y=1+
1
4
（t+
t
4
）在（0，1]递减
∴y
min
=
9
4
（当且仅当t=1即θ=
π
4
时成立）
∴当θ=
π
4
时，
f(θ)
g(θ)
的最小值为
9
4
．
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