设函数f（x）=lnxx2．（1）求f（x）的极大值；（2）求证：12eln[n?（n-1）?（n-2）…2?1]≤（n2+n）（2n+

（1）f′(x)＝

x?2xlnx

x4

＝

1?2lnx

x3

．
由f′（x）=0得x＝

e

，
列表得：

x	(0， e )	e	( e ，+∞)
f'（x）	+	0	-
f（x）	递增	极大值	递减

从而f（x）在(0，

e

)单调递增，在(

e

，+∞)单调递减．
∴f(x)极大＝f(

e

)＝

1

2e

．…（4分）
证明：（2）∵f(x)极大＝f(

e

)＝

1

2e

．
∴f(x)≤

1

2e

，
∴

lnx

x2

≤

1

2e

，
∴lnx≤

1

2e

x2，
∴2elnx≤x²，
分别令x=1，2，3，…，n，
∴2eln1≤1²，2eln2≤2²，…，2elnn≤n²，
∴2e（ln1+ln2+ln3+…+lnn）≤1²+2²+3²+…+n²，
∴2eln[n?(n?1)?(n?2)…2?1]≤

n(n+1)(2n+1)

6

，
∴12eln[n?（n-1）?（n-2）…2?1]≤（n²+n）（2n+1）（n∈N^*）…（9分）
（3）由（1）的结论：方程f(x)?

a

2e

＝0(a∈R+)有唯一解，
∴a=1，
方程g(x)＝txf′(x)+

ax2?2tx?t

x2

＝0有唯一解，
即：x²-2tlnx-2tx=0（x＞0）有唯一解，
设G（x）=x²-2tlnx-2tx=0（x＞0），
∴G′(x)＝

2

x

(x2?tx?t)，
由∴G'（x）=0，则x²-tx-t=0设x²-tx-t=0的两根为x₁，x₂，不妨设x₁＜x₂，
∵t＞0，
∴x₁＜0＜x₂，
∴x1＝

t? t2+4t

2

，x2＝

t+ t2+4t

2

，
∴G（x）在（0，x₂）递减，（x₂，+∞）递增，
要使G（x）=x²-2tlnx-2tx=0（x＞0）有唯一解，则G（x₂）=0，
即：x22?2tlnx2?2tx2＝0…①
又x22?tx2?t＝0…②
由①②得：2tlnx₂+tx₂-t=0，
即：2lnx₂+x₂-1=0，
∴x₂=1，
又x₂是方程x²-tx-t=0的根，
∴1＝x2＝

t+ t2+4t

2

，
∴t＝

1

2

…（14分）