已知椭圆C1的中心在原点，离心率为45，焦点在x轴上且长轴长为10．过双曲线C2：x2a2?y2b2＝1(a＞0，b＞0)

2025-06-22 23:18:06

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回答1：

（I）设椭圆C₁的标准方程为

a12

b12

＝1(a1＞b1＞0)，根据题意：
2a₁=10，则a₁=5．又e₁=

，∴c₁=4，b₁=3
∴椭圆C₁的标准方程为

＝1
（II）设双曲线的右焦点F₂（c.0），将x=c代入双曲线方程，得y=±

，即为M、N两点的纵坐标，即|MN|=

2b2

∵以MN为直径的圆恰好过双曲线的左顶点A，且|AF₂|=a+c，
∴a+c=

，
即a²+ac=b²=c²-a²，
整理，得2a²+ac-c²=0，即有e²-e-2=0，又e＞1
∴e=2
又双曲线C₂与椭圆C₁有公共的焦点，则c=4
∴a=2，b²=12
双曲线C₂的标准方程为

＝1
（III）若以MN为直径的圆与双曲线C₂的左支有交点，
∴圆的半径至少要取到a+c，即有a+c≤

，
两边同除以a²，得
e²-e-2≥0，又e＞1
∴e≥2
故双曲线C₂的离心率的取值范围为[2，+∞）．