85问答库 > 已知数列{a n }的前n项和S n 满足 S n = 1 4 ( a n +1 ) 2 ，且a n ＞0．（1）求数

已知数列{a n }的前n项和S n 满足 S n = 1 4 ( a n +1 ) 2 ，且a n ＞0．（1）求数

2025-06-22 11:35:55

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回答1：

（1）当n=1时，有 a 1 = S 1 =

( a 1 +1 ) 2 ，∴a₁ =1
当n=2时，有 a 1 + a 2 =

( a 2 +1 ) 2 ，∴a₁ =3
当n≥2时，有 a n = S n - S n-1 =

[( a n +1 ) 2 -( a n-1 +1 ) 2 ]
∴（a_n +a_n-1 ）（a_n -a_n-1 -2）=0又∵a_n ＞0，∴a_n -a_n-1 =2，
∴数列{a_n }是以1为首项，以2为公差的等差数列，
∴a_n =1+（n-1）×2=2n-1
（2）由于b_n =20-a_n =21-2n，则b₁ =19，b_n -b_n-1 =-2＜0．
∴{b_n }是递减数列，
令

b n =21-2n＞0

b n+1 =19-2n＜0

，
∴n=10，即数列{b_n }的前10项和最大．