已知∠ABC=90°,△ABE是等边三角形,点P为射线BC上任意一点(点P与点B不重合),

(1)显然角BAD=60  角BPD=30

AB＝根号3则  AP=2根号3   BP=3

因为三角形ABD是等边三角形 所以AB=AD=BD=根号3  

所以AD=DP＝根号3    D是AP的中点

连EP 可得三角形AEP是等边三角形 所以角EPB=角APE+角BPD=60+30=90

EP=AP=2根号3    角PED=30  所以

对于三角形EPF 是直角三角形 所以可得EF=EP/sin60 =4

DE=3 (等边三角形EPA的中线) 

所以DF=4-3=1

(2) 当P 在BC上任意一点时 若ADP三点共线 则角EFC=60

若A,D,P三点不共线时 则 角EFC=60  如下图所示

证明: 设 图中F P中间的那个点为P1 (就是第一问中P点 角AP1B=30）

作AT 交EF于 T  ,使角TAP1=60  角EAT=角PAP1

可以证明三角形ATE 与三角形APP1 全等 

根据上一问 可知 TD就是上一问的ED 

所以角EFP=60  

上面的P在P1的右边 ，当P在P1的左边时 同理可求

(3)作EM垂直 BC  于M点  则EM=Y

根据上二问的结论得

角DFC=30  AP1下DF垂直

所以DP1=根号3    EP1 =DP1/sin60 =2

BP1=3   BF=3-2=1

AP^2=3+X^2 =PE^2 

设FM=a  则 PM=BP-BF-FM=x-1-a

EM=a*根号3  

所以EM^2=PE^2-PM^2=3+x^2-(x-1-a)^2  =3a^2

3+x^2-x^2+2(1+a)x-(1+a)^2 =3a^2

3a^2=3+2x+2ax -1-a^2-2a

4a^2 +2a(1-x)-(3-2x)=0

a=((x-1)+根号(x^2-10x+13))/4  

所以Y=EM=根号3/4  [x-1+根号(x^2-10x+13)]  数据没检查可能有错 过程无误

（1）DF=1
（2）∠EFC=60°