85问答库 > 椭圆E的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率 e= 2 3 ，过点C（-1，0）的直线l交椭

椭圆E的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率 e= 2 3 ，过点C（-1，0）的直线l交椭

2025-06-22 10:53:26

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回答1：

设椭圆方程为：

x 2

a 2

y 2

b 2

=1 （a＞b＞0），
由 e=

及a² =b² +c² 得a² =3b² ，
故椭圆方程为x² +3y² =3b² ①
（1）∵直线L：y=k（x+1）交椭圆于A（x₁ ，y₁ ），B（x₂ ，y₂ ）两点，
并且

=λ

（λ≥2）
∴（x₁ +1，y₁ ）=λ（-1-x₂ ，-y₂ ），
即

x 1 +1=-λ( x 2 +1)

y 1 =-λ y 2

②
把y=k（x+1）代入椭圆方程，
得：（3k² +1）x² +6k² x+3k² -3b² =0，且△=k² （3b² -1）+b² ＞0，
∴ x 1 + x 2 =-

6 k 2

3 k 2 +1

③ x 1 x 2 =

3 k 2 -3 b 2

3 k 2 +1

④
∴ S △OAB =

1+ k 2

| x 1 - x 2 |

|k|

1+ k 2

|k|| x 1 - x 2 |=

|λ+1|

|k|| x 2 +1|
联立②、③得： x 2 +1=

(1-λ)(3 k 2 +1)

∴ S △OAB =

λ+1

λ-1

|k|

3 k 2 +1

(k≠0)
（2） S △OAB =

λ+1

λ-1

|k|

3 k 2 +1

λ+1

λ-1

3|k|+

|k|

≤

λ+1

λ-1

(λ≥2)
当且仅当 3|k|=

|k|

即 k=±

时，S_△OAB 取得最大值．
此时x₁ +x₂ =-1，
又∵x₁ +1=-λ（x₂ +1），
∴ x 1 =

λ-1

， x 2 =

-λ

λ-1

，代入④得： 3 b 2 =

λ 2 +1

(λ-1) 2

故此时椭圆的方程为 x 2 +3 y 2 =

λ 2 +1

(λ-1) 2

(λ≥2)
（3）由②．③联立得： x 1 =

-2λ

(1-λ)(3 k 2 +1)

-1 ， x 2 =

(1-λ)(3 k 2 +1)

-1 ，将x₁ ．x₂ 代入④得： 3 b 2 =

4λ

(λ-1) 2 (3 k 2 +1)

+1 ，
由k² =λ-1
得： 3 b 2 =

4λ

(λ-1) 2 (3λ-2)

+1=

[

(λ-1) 2

(λ-1) 2 (3λ-2)

]+1
易知：当λ≥2时，3b² 是λ的减函数，
故当λ=2时，（3b² ）_max =3．
故当λ=2，
k=±1时，椭圆短半轴长取得