英语翻译：你知道他住在哪个房间吗？

第一个句子是正确的，这是个宾语从句，which本身就可以做宾语从句的连词，所以不需要that。that在宾语从句中通常用于引导后面的内容为陈述事实的句子，比如 Do you know that he lives in this house? 你知道他住在这个房间吗？
而且 通常that是可以省略的

一般的句式是 do you know that +句子,或者do you know +名词.但是which 是代词.代词相当于名词.所以用的句式是后者.

其实这个刚才我已答过，根本不需要that，前面已有which
例：
Do you know which restaurant he is likely to be in?
你知道他会去哪家餐馆吗？

Excuse me. Do you know which line I should take to go to Taipei City Hall?
请问一下，你知道到市政府要搭什麽线吗？

宾语从句的that可有可无
但是the house that he lives in， that引导定语从句，不可省

Do you know which room he lives {is living} in?
习惯用法，which 本身可以引导宾语从句。再用that多余。